Diagonalizando con Mathematica

Rango y Numero de Puntos

xmin=0 ;
xmax = 5 ;
npts = 500 ;
Δ = (xmax - xmin)/npts ;

Creacion del Hamiltoniano

m = Table[ If [i==j-1 , -0.5/(Δ^2), 
                 If [i==j, 1.0/(Δ^2) + 0.5 (i*Δ)^2,
               If [i==j+1, -0.5/(Δ^2), 0. ] ] ] ,
    {i,npts}, {j,npts}] ;

Autovalores (Energias)

Eigenvalues[m,-5]

Primeros Autovectores

Vvarios = Eigenvectors[m,-3];

ListPlot[Vvarios]

Vg = Eigenvectors[m,-3][[-1]];

ListPlot[Vg]